Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 đường thẳng đồng quy
Cách chứng tỏ 4 điểm đồng phẳng, 3 mặt đường thẳng đồng quy
A. Phương thức giải
+ Để minh chứng bốn điểm A; B; C; D đồng phẳng ta có thể chứng minh hai con đường thẳng AB và CD tuy vậy song hoặc cắt nhau
+ Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy ta minh chứng e mặt đường thẳng chính là giao tuyến của ba mặt phẳng rõ ràng hoặc search giao điểm của hai đường thẳng và minh chứng điểm kia thuộc đường thẳng còn lại.
Bạn đang xem: Chứng minh 4 điểm đồng phẳng
Liên quan: chứng tỏ 4 điểm đồng phẳng
B. Lấy ví dụ minh họa
Ví dụ 1: mang đến hình chóp S.ABCD. Call M; N: P; Q, R; T thứu tự là trung điểm AC; BD, BC; CD; SA và SD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. M; P; R; T B. M; Q; T; R C. M; N; R; T D. P; Q; R; T
Lời giải
Chọn B
+ Ta tất cả RT là mặt đường trung bình của tam giác SAD đề xuất RT // AD (1)
+ MQ là con đường trung bình của tam giác ACD phải MQ // AD (2)
Từ (1) với (2) suy ra: RT // MQ
Do kia 4 điểm M; Q; T; R đồng phẳng
Ví dụ 2: mang lại hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là 1 tứ giác lồi. Gọi M; N; E; F thứu tự là trung điểm của các kề bên SA; SB; SC; SD. Xác minh nào sau đó là đúng?
A. ME; NF; SO song một song song (O là giao điểm của AC)
B. ME; NF; SO ko đồng quy (O là giao điểm của AC cùng BD)
C. ME; NF; SO đồng quy (O là giao điểm của AC và BD)
D. ME; NF; SO song một chéo nhau (O là giao điểm của AC cùng BD)
Lời giải
Chọn C.
+ trong (SAC); call I = ME ∩ SO
+ Xét tam giác SAC bao gồm ME là con đường trung bình đề nghị ME // AC
⇒ mi // AO cùng M là trung điểm của SA
⇒ I là trung điểm của SO
suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.
⇒ FI // OD (1)
+ tựa như ta bao gồm NI // OB (2)
Từ (1) với (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng hay I ∈ NF
Vậy ME; NF; SO đồng quy
Ví dụ 3: cho tứ diện ABCD hotline M; N: P; Q; R; S theo lần lượt là trung điểm của những cạnh AC; BD; AB; AD; BC; CD. Tứ điểm nào dưới đây đồng phẳng?
A. P; Q; R; S
B. M; N; R; S
C. M; N;P; Q
D. M; P; R; S
Lời giải
Chọn A
+ vị PQ là mặt đường trung bình của tam giác ABD bắt buộc PQ // BD
+ Tương tự, ta tất cả RS // BD
Vậy PQ // RS bắt buộc 4 điểm P; Q; R; S thuộc nằm trên một mặt phẳng
+ các bộ tư điểm M; N; R; S hoăc M; N; P; Q hoặc M; P; R; S phần đa không đồng phẳng
Ví dụ 4: cho hình chóp S.ABCD tất cả đáy ABCD là một tứ giác lồi. Hotline M; N; E; F lần lượt là trung điểm của các ở kề bên SA; SB; SC; SD. Xác định nào sau đó là đúng?
A. Bốn điểm M; N; E; F đồng phẳng
B. Tứ điểm M; N; E; F ko đồng phẳng
C. MN, EF chéo cánh nhau.
D. Cả A, B, C rất nhiều sai
Lời giải
Chọn A
+ trong ( SAC); điện thoại tư vấn I = ME ∩ SO
+ Xét tam giác SAC bao gồm ME là đường trung bình cần ME // AC.
⇒ ngươi // AO cùng M là trung điểm của SA
⇒ I là trung điểm của SO
suy ra FI là đường trung bình của tam giác SOD.
⇒ FI // OD. (1)
+ tương tự như ta tất cả NI // OB (2)
Từ (1) với (2) suy ra: 3 điểm N; I; F thẳng hàng xuất xắc I ∈ NF
Do ME ∩ NF = I buộc phải ME và NF xác minh một phương diện phẳng
Suy ra 4 điểm M; N; E, F đồng phẳng
Ví dụ 5: mang đến hình chóp A.BCD; điện thoại tư vấn M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. Hotline G1, G2 theo thứ tự là trung tâm tam giác ABD với ABC. Tra cứu mệnh đề đúng?
A. MN với G1G2 chéo nhau
B. G1 ,G2, M, N đồng phẳng
C. G2M cùng G1N chéo nhau
D. Tất cả sai
Lời giải
+ Xét tam giác AMN ta có:
(AG1)/AM = (AG2)/AN = 2/3 (tính chất trọng tâm tam giác)
⇒ MN // G1G2
Do đó; 4 điểm M,N, G1 , G2 đồng phẳng cùng 2 đường thẳng G2M, G1N sẽ cắt nhau.
Chọn B
Ví dụ 6: mang lại tứ diện ABCD tất cả M; N thứu tự thuộc AB; DB sao để cho MN // AD. điện thoại tư vấn I là trung điểm BC. Gọi HK là giao tuyến của mp(CNM) cùng mp(AID). Tìm mệnh đề sai?
A. HK // AD
B. HK // MN
C. K; H; N; M đồng phẳng
D. A hoặc B không đúng
Lời giải
+ Xét nhị mp (CNM) cùng mp (AID) có:
⇒ HK // AD // MN (hệ quả)
+ do HK // NM nên 4 điểm H; K; N; M đồng phẳng
Chọn D
Ví dụ 7: đến tứ diện ABCD và 3 điểm P; Q với R theo thứ tự nằm trên bố cạnh AB; CD với BC. Biết PR giảm AC tại I. Khẳng định giao điểm S của mp(PQR) cùng với cạnh AD.
A. Là giao điểm của QI và AC
B. Là giao điểm của QI với AD
C. Là giao điểm của RI và AD
D. Là giao điểm của PI với AD
Lời giải
+ Xét giao tuyến đường của 3 mp(ABC); mp(ACD) với (PQR):
(ABC) ∩ (ACD) = AC
(ABC) ∩ (PQR) = PR
(ACD) ∩ (PQR) = d, trong số đó d đi qua Q.
⇒ tía mp( ABC); mp( ACD) với mp(PQR) giảm nhau theo 3 giao đường là AC; PR với d.
Xem thêm: Làm Gì Khi Gặp Ma? Hay Là Cách Tránh Mua Những Cách Tránh Gặp Ma
Lại có: lăng xê ∩ AC = I
⇒ cha đường thẳng AC; PR cùng d đồng quy trên I
⇒ Đường trực tiếp d là đường thẳng QI.
+ lúc đó; giao điểm của QI với AD đó là điểm S cần tìm.
Chọn B
Ví dụ 8: cho tứ diện ABCD. Gọi G với J thứu tự là giữa trung tâm tam giác BCD và tam giác ACD. điện thoại tư vấn M với N thứu tự là trung điểm của BC cùng AC. Tư điểm nào sau đây không đồng phẳng?
A. G; J; A; B
B. A; B; M; N
C. G; J; M; N
D. M; N; K; J
Lời giải
+ điện thoại tư vấn K là trung điểm của CD.
+ vì G và J thứu tự là trung tâm tam giác BCD và tam giác ACD.
⇒ KG/KB = KJ/KA = 1/3
⇒ GJ // AB (định lí Ta-let đảo) (1)
+ Xét tam giác ABC gồm M với N lần lượt là trung điểm của BC với AC
⇒ MN là con đường trung bình của tam giác AB
⇒ MN // AB (2)
Từ (1) và (2) suy ra: GJ // AB // MN
⇒ bốn điểm G; J; A; B đồng phẳng
Bốn điểm G; J; M; N đồng phẳng
Bốn điểm A; B; M; N đồng phẳng
Ví dụ 9: mang lại hình chóp S.ABCD bao gồm đáy ABCD là hình chữ nhật. Call M, N, E, F theo lần lượt là trọng tâm các tam giác SAB, SBC, SCD cùng SDA. điện thoại tư vấn O là giao điểm của AC và BD. Tra cứu mệnh đề sai?
A. Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng
B. Tía đường thẳng ME; NF; SO đồng qui
C. MN // EF
D. Tất cả đúng nhị mệnh đề đúng
Lời giải
Gọi M’; N’; E’; F’ thứu tự là trung điểm những cạnh AB; BC; CD cùng DA
+ Ta gồm SM/SM’ = 2/3, SN/SN’ = 2/3 ⇒ SM/SM’ = SN/SN’
⇒ MN // M’N’ ( định lí Ta let đảo) (1)
+ tương tự như SE/SE’ = SF/SF’ ⇒ EF || E’F’ (2)
+ lại sở hữu
Từ (1); (2) với (3) suy ra MN // EF
Vậy bốn điểm M; N; E và F đồng phẳng.
+ thường thấy M’N’E’F’ cũng chính là hình bình hành với O = M’E’ ∩ N’F’
Xét tía mặt phẳng (M’SE’),(N’SF’) cùng (MNEF) ta tất cả :
(M’SE’) ∩ (N’SF’) = SO
(M’SE’) ∩ (MNEF) = ME
(N’SF’) ∩ (MNEF) = NF
ME ∩ NF = I.
Do kia theo định lí về giao con đường của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng ME; NF; SO đồng qui
⇒ A; B, C đúng ; D sai
Chọn D
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: mang đến hình chóp S.ABCD. Hotline M ; N ; phường ; Q ; R ; T theo thứ tự là trung điểm AC ; BD, BC, CD,SA, SD. Tra cứu mệnh đề sai?
A. 4 điểm R, T, Q, M đồng phẳng
B. RQ cùng TM cắt nhau
C. PN // CD
D. RM với TQ giảm nhau
Câu 2: cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Hotline M; M’ theo lần lượt là trung điểm của BC cùng B’C’; call G, G’ theo lần lượt là trung tâm tam giác ABC cùng A’B’C’. Tư điểm nào tiếp sau đây đồng phẳng?
A. A ; G ; G’, C’ B. A, G, M’, B’ C. A’, G’, M, C D. A, G’, M’, G
Câu 3: cho hình chóp S.ABCD gồm đáy ABCD là hình thang (AB // CD ). Gọi M với N thứu tự là trung điểm của SA và SB; G là giữa trung tâm tam giác SCD. Tư điểm nào tiếp sau đây đồng phẳng?
A. G, C, S, B B. M, N, C, D C. G, C, A, B D. M, N, G, B.
Câu 4: cho tứ diện ABCD gồm M trực thuộc cạnh AB sao để cho AM = 3MB; N ở trong AC sao để cho AC = 4 NC; H ở trong AD thế nào cho HD = 3 AH. Gọi phường và Q lần lượt là trung điểm của BD cùng CD. Bốn điểm nào sau đây đồng phẳng?
A. M, N, H, A B. M, N, P, Q C. P, Q, N, H D. H, Q, M, N
Câu 5: cho tứ diện ABCD đều. điện thoại tư vấn M, AN, P, Q, H, K lần lượt là trung điểm của AB, AD, CD, BC, AC với BD. Ban con đường thẳng nào sau đây đồng quy?
A. MP, NQ, BN
B. HK, MP, NC
C. MP, NQ, HK
D. HK, NQ, CM
Câu 6: mang đến tứ diện ABCD. Hotline M , N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của AB; CD; BC; DA; AC với BD. Hỏi ba đường thẳng nào dưới đây đồng quy.
A. MN, PQ, RS
B. MN; PR; QS
C. MP; NA; RS
D. MR; NS; PQ
Câu 7: đến hình chóp S.ABCD. Một phương diện phẳng (P) cắt các cạnh SA; SB; SC và SD thứu tự tại A’; B’; C’ với D’. Ba đường trực tiếp nào sau đây đồng qui?
A. SO; A’C; C’D
B. SO; AC’; B’D’
C. A’C’; B’D; CD’
D. SO; A’C’; B’D’
Câu 8: cho hình chóp S.ABCD; một mp (P) đi qua D với C cắt SA tại A’. Gọi giao điểm của A’C và SO là I; giao điểm của AC và BD là O. Tra cứu mệnh đề sai?
A. Ba điểm A’; I cùng C thẳng hàng.
B. Ba đường thẳng SO; A’C và B’D đồng quy.
C. DI cắt SB.
D. Tất cả đúng nhì mệnh đề đúng
Câu hỏi trắc nghiệm lý thuyết về hai tuyến phố thẳng song song trong ko gian Cách chứng minh hai con đường thẳng tuy vậy song trong không gian Cách chứng minh 4 điểm đồng phẳng, 3 mặt đường thẳng đồng quy Cách tra cứu giao con đường của 2 khía cạnh phẳng đựng 2 mặt đường thẳng tuy vậy song Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi vì mặt phẳng chứa đường thẳng tuy nhiên song với mặt đường thẳng khácGiới thiệu kênh Youtube VietJack
